Wir haben im letzten Video gesehen, dass wir die Elemente des Funktionskörpers der rationalen

Funktion als einen Quotienten von zwei Polynomen interpretieren können. Und unter der Annahme,

dass wir den Definitionsbereich des Nennerpolynoms geeignet einschränken, konnten wir mit diesem

Polynom auch wirklich rationale Funktionen definieren und klassifizieren. Das haben wir

abhängig gemacht von dem Grad des Zähler- und Nennerpolynoms. Und dann haben wir aber

auch schon gesehen im letzten Video, dass sich jede rationale Funktion eindeutig schreiben lässt als

die Summe eines Polynoms und einer echt gebrochen rationalen Funktion. Das war der Fall, wo der Grad

des Zählerpolynoms kleiner war als der Grad des Nennerpolynoms. Das kam heraus als Rest der

Polynomendivision. Und jetzt sind wir an dem Punkt angelangt, wo wir sagen können, okay,

das entstehende Polynom dieser eindeutigen Darstellung, das können wir definitiv integrieren.

Wie sieht es jedoch aus mit diesem echt gebrochen rationalen Anteil? Und für diese Funktion ist es

im Allgemeinen nicht möglich, analytisch eine Stammfunktion hinzuschreiben. Es gibt keine

vernünftige Art, für beliebige Quotienten von Polynomen solch eine Stammfunktion zu bestimmen,

ohne dass man nicht vielleicht in unendlicher Rechenarbeit untergeht. Und da mag man sich in

der Mathematik einen Trick einfallen lassen, und das ist die sogenannte Partialbruchzerlegung. Und

die wollen wir uns in heutigen Video einmal anschauen. Das heißt, wir werden zuerst versuchen,

zu motivieren, wofür wir die Partialbruchzerlegung benötigen, dann einen Satz uns anschauen, der uns

erklärt, wie wir Nullstellen aus dem Nennerpolynom rausziehen können, um einfachere Terme zu

generieren, die wir dann letztendlich auch integrieren können. Und anschließend wollen wir das Ganze

noch für zwei Spezialfälle, nämlich für reelle Polynome und für komplexe Polynome betrachten,

und feststellen, dass die entstehende Partialbruchzerlegung uns auf Summen führt,

die eigentlich nur aus Summanden besteht, die entweder 1 durch ein Polynom von Grad 1 sind,

oder 1 durch ein Polynom von Grad 2, also quadratische Polynome, und mit denen können

wir sehr gut umgehen am Ende. Anschließend werden wir noch einen Algorithmus herleiten,

der genau erklärt, wie wir umgehen müssen mit rationalen Funktionen, damit wir diese integrieren

können und ein Beispiel rechnen. Jetzt wollen wir nochmal anfangen aufzuschreiben, was wir das

letzte Mal zuletzt bemerkt haben. Wir wissen jetzt jede rationale Funktion, also jede rationale

Funktion R, und wir hatten geschrieben für den Funktionskörper der rationalen Funktion die

folgende Notation K mit runden Klammern von X, im Gegensatz zum Polynomring, der eckige Klammern

hatte, können wir darstellen als, und wir hatten das als Quotienten geschrieben, das war R von X ist

so ein Quotient von P von X geteilt durch Q von X, und wir müssen die X so wählen, dass wir nie durch

Null teilen. Und dann haben wir aber gesehen, durch Polynomendivision gibt es so eine eindeutige

Darstellung, die ist G plus eben ein abgewandeltes Polynom P Schlange, geteilt durch dasselbe

Nennerpolynom Q, und in dieser besonderen Darstellung wissen wir, dass der hintere

Anteil gebrochen, echt gebrochen rational ist, das heißt insbesondere, dass der Grad des

Zählerpolynoms kleiner ist, und das haben wir wie folgt aufgeschrieben, der Grad von P Schlange

ist echt kleiner als der Grad von Q. Da sind wir das letzte Mal stehen geblieben, und wir sehen

schon, dass das entstehende ganz rationale Funktion hier einfach integrierbar ist,

denn es ist nur ein Polynom. Und der zweite Anteil, darum wird es heute gehen, wie wir den

überführen können, denn der ist in der Form erstmal nicht integrierbar, zumindest nicht im

Allgemeinen. Das heißt, wir werden uns insbesondere mit den Termen hier zum Schluss beschäftigen,

das heißt, wir werden im Folgenden immer davon ausgehen, dass die rationale Funktion, die wir

betrachten, schon echt gebrochen rational ist, und wir vernachlässigen einfach mal das Polynom,

das davor als Summe steht. Nun ist es so, wie ich schon angekündigt habe, ein Trick in der Mathematik

ist die sogenannte Partialbruchzerlegung, und die ermöglicht es uns, rationale Funktionen in eine

Summe von rationalen Funktionen von einfacherer Gestalt zu zerlegen. Da können wir nämlich ohne

Probleme die Stammfunktion hinschreiben, und es ist sogar so, dass wenn wir die Ausgangsfunktion

als eine komplexe rationale Funktion betrachten, dann erhalten wir sogar eine Zerlegung in

Summanden, deren Nennerpolynome maximal eine Nullstelle besitzen, also eigentlich nur Polynome

vom Grad 1 sein können. Und das liegt natürlich daran am Fundamentalsatz der Algebra, der uns sagt,